दो बिन्दुओं से समदूरस्थ किसी बिंदु का बिन्दु पथ क्या है?

बिन्दु पथ (locus) प्रमेय 10.1 Theorem

दिए  हुए दो बिन्दुओं से समदूरस्थ किसी बिंदु का बिन्दु पथ उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का लम्बसमद्विभाजक होता है।

( The locus of a point which is equidistant from two fixed points is the Perpendicular Bisector of the straight line joining the fixed points.)
हल:

दिया  गया है  A और B दो बिंदु है। उनके तल में कोई बिंदु Q
             इस प्रकार है, कि AQ = BQ
सिद्ध करना -   बिंदु Q, रेखा AB के लम्ब समद्विभाजित l पर स्थित है।              PM ⊥ AB
रचना -               AB को मिलाया , AB को D पर समद्विभाजित किया , QA और QBको मिलाया।
उपपत्ति :             ∆ADQ और ∆BDQ में
                             AQ = BQ   (दिया है।)
                             AD = BD  (रचना से)
                             DP = MD   (उभयनिष्ठ)
                          ∆ADQ ≌ ∆BDQ
                               भुजा – भुजा – भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से
                        ∠ADQ = ∠BDQ
                       ∠  ADQ + ∠BDQ  = 180°    (रैखिक युग्म कोण)
                      ∠  ADQ + ∠ADQ  = 180°
                     2∠ADQ  = 180°
                     ∠ADQ = 90°
                        या
                   ∠BDQ = 180°
                      PM ⊥ AB
AB का मध्य बिंदु M है। अतः AB का लम्ब समद्विभाजक PM है।