हिरोन का सूत्र_heron's formula for class 9 questions

हिरोन का परिचय

एक तल में तीन रेखाओं से घिरी आकृति त्रिभुज (Triangle) तथा चार भुजाओं से घिरी आकृती चतुर्भुज (quadrilateral) कहलाती है इस सरल आकृति से घिरा भाग  समतल क्षेत्र (area) कहलाता है । हम त्रिभुज का क्षेत्रफल व चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल तथा इनके सूत्र तथा साथ ही questions देखेंगे हिरोइन का सूत्र नामकरण अलेक्जैण्ड्रिया (Alexandria)  हीरोन के नाम पर रखा गया  है।

हिरोइन का सूत्र (heron's formula)

ज्यामिति  Geometry में हीरोन का सूत्र (Heron's formula) त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर उसका क्षेत्रफल (area) निकालने का एक सूत्र है। इसे 'हीरो का सूत्र' (Hero's formula) भी कहते हैं।
यदि किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b और c हों तो उसका क्षेत्रफल

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Cyclic quadrilateral formula)

ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष वृत की परिधि circumference पर स्थित हो चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूर्ण होते हैं

हीरोन का सूत्र चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic quadrilateral) का क्षेत्रफल निकालने के लिए ब्रह्मगुप्त के सूत्र की एक विशेष स्थिति है। ब्रह्मगुप्त का सूत्र यह

इस सूत्र के अनुसार एक चक्रीय चतुर्भुज में जिसकी भुजाएं क्रमशः a, b, c एवं d है।

हिरोन सूत्र से संबंधित प्रश्र

1. एक चतुर्भुज का ABCD क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका विकर्ण AC =  15 सेमी तथा भुजाएं AB = 7 सेमी, BC = 12 सेमी , CD =12 सेमी एवं DA = 9 सेमी हो

ans  चतुर्भुज का ABCD क्षेत्रफल =  त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल

त्रिभुज ABC का area 

AC =  15 सेमी, AB = 7 सेमी, BC = 12 सेमी 

 अतः अद्धपरिमाप s = a+b+c/2

                          S = 7+12+15/2 = 17 सेमी

                          = √17×(17-7)×(17-12)×(17-15) वर्ग सेमी

                          = √17×10×5×2 वर्ग सेमी

                           = 10√17 वर्ग सेमी

इसी प्रकार

 त्रिभुज ACD का area

CD =12 सेमी ,DA = 9 सेमी AC 15सेमी

                  = 54 वर्ग सेमी

चतुर्भुज का ABCD area  10√17+54=95.2 वर्ग सेमी