बिन्दु पथ (locus) प्रमेय 10.1 Theorem

दिए  हुए दो बिन्दुओं से समदूरस्थ किसी बिंदु का बिन्दु पथ उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का लम्बसमद्विभाजक होता है।

( The locus of a point which is equidistant from two fixed points is the Perpendicular Bisector of the straight line joining the fixed points.)
हल:
locus


दिया  गया है  A और B दो बिंदु है। उनके तल में कोई बिंदु Q
             इस प्रकार है, कि AQ = BQ
सिद्ध करना -   बिंदु Q, रेखा AB के लम्ब समद्विभाजित l पर स्थित है।              PM ⊥ AB
रचना -               AB को मिलाया , AB को D पर समद्विभाजित किया , QA और QBको मिलाया।
उपपत्ति :             ∆ADQ और ∆BDQ में
                             AQ = BQ   (दिया है।)
                             AD = BD  (रचना से)
                             DP = MD   (उभयनिष्ठ)
                          ∆ADQ ≌ ∆BDQ
                               भुजा – भुजा – भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से
                        ∠ADQ = ∠BDQ
                       ∠  ADQ + ∠BDQ  = 180°    (रैखिक युग्म कोण)
                      ∠  ADQ + ∠ADQ  = 180°
                     2∠ADQ  = 180°
                     ∠ADQ = 90°
                        या
                   ∠BDQ = 180°
                      PM ⊥ AB
AB का मध्य बिंदु M है। अतः AB का लम्ब समद्विभाजक PM है।

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